L'Angolo dei quiz

[gillian]

I campeggiatori (categoria : very hard)

Una coppia di campeggiatori ha posto la sua tenda nel punto A.
A mezza mattina, il marito decide di andare a trovare dei suoi amici che si trovano nel punto B.
La moglie coglie la palla al balzo e gli intima di andare al ruscello che scorre poco lontano, per prendere un secchio d'acqua.
Il marito prende il secchio e va dagli amici. Resosi conto di esserci rimasto un po' troppo, per risparmiare tempo, decide che percorrerà il tragitto più breve per ritornare alla propria tenda, deviando, naturalmente, per prendere il secchio d'acqua come la moglie gli ha chiesto.
Ma il marito non era la prima volta che faceva questo percorso e geometra di mestiere, aveva già calcolato, il punto P sulla riva del fiume doveva dirigersi per ottimizzare il percorso tramite un teodolite.

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In sostanza, precisato che la situazione, al solito, è ideale e cioè il campeggio si trova in una perfetta pianura, le rive del ruscello, fra loro parallele, sono perfettamente rettilinee e la velocità del marito è costante, sia col secchio pieno che con quello vuoto, qual è il percorso più breve B-ruscello-A ... ovvero B-P-A?
Come aveva calcolato il punto P del ruscello dove dovrà fermarsi per riempire il secchio affinché tale percorso sia minimo?
Nel caso improbabile che foste in difficoltà contattate il mio vecchio amico Erone!

Parafrasando Dante “…. Sembra che la diritta via si sia smarrita” Erone invece non si perde d’animo … e cosa fa … una riflessione del punto B rispetto a r nel punto B’ … congiunge B’ col punto A che interseca la r nel punto P … ed ecco che il gioco è fatto.
Infatti B’A = B’PA = BPA (linee rosse)
Ora siccome per un assioma della geometria recita: “la linea più breve che passa tra due punti è la linea retta” il punto P è certamente il punto che cercavamo ed il percorso BPA è il percorso che il ns. campeggiatore farà per fare il più presto possibile.
Comunque c’è la possibilità di fare una noiosa ma utile dimostrazione per assurdo.

Supponiamo che esista un punto qualunque P’ (diverso da P) sulla retta r per cui diciamo che BP’A sia il cammino minimo.
Allora deve essre BP’+ P’A<BP+PA, cioè BP’+P’A< BP’+PA, vale a dire BP’+P’A<B’A.
Ma questo è assurdo, giacché per le note proprietà dei triangoli (nel nostro caso quello con vertici B’P’A) "in un triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due" deve valere la relazione B’A<B’P’+P’A, vale a dire, essendo BP’=B’P, B’A<BP’+P’A e poiché B’PA =BP +PA, la via più breve è quella … per cui B’PA è una retta.


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