In ogni formalizzazione coerente della matematica che sia sufficientemente potente da poter assiomatizzare la teoria elementare dei numeri naturali — vale a dire, sufficientemente potente da definire la struttura dei numeri naturali dotati delle operazioni di somma e prodotto — è possibile costruire una proposizione sintatticamente corretta che non può essere né dimostrata né confutata all'interno dello stesso sistema.
Sia T una teoria matematica sufficientemente espressiva da contenere l'aritmetica: se T è coerente, non è possibile provare la coerenza di T all'interno di T .
cosa non ti è chiaro?
Moderatore Debate Square
[B][I]"Scherzi a parte, ma che problemi ha?
qualcuno lo conoscer
A me sembra un paradosso...prova a spiegarmelo (non ripetermelo) con parole tue, magari capisco.
in due parole. provo a riportare il discorso al diritto.
noi diciamo che ogni insieme di norme, cioè ogni ordinamento giuridico è un sistema. d'accordo? ora, questo sistema deve fondarsi su qualcosa, altrimenti sarebbe un castello di carte. esso si fonda su una sola norma, quella che kelsen definiva la grundnorme, la quale dice che tutte le norme del sistema vanno rispettate. ovviamente questa norma fondamentale non può essere fondata all'interno del sistema, ma è non fondata, a meno che non la si riconduca ad un diverso sistema di norme. ma a questo punto saremmo all'esterno del primo sistema considerato. ora questo vale per il diritto.
nella matematica è la stessa cosa.
se io dico che due più due fa quattro, devo dare per scontato (esterno al sistema) che due corrisponde a un numero finito di unità. e la proposizione secondo cui x + y = n è esterna al sistema dei numeri naturali, cioè non è né vera né falsa al suo interno. sembra una cazzata, ma godel ci ha vinto il nobel...
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