Teorema dell'incompetezza di godel

In pratica, in un sistema definiamo alfabeto del sistema le pedine di cui ci serviamo per giocare; ad esempio, in un sistema binario i numeri 0 e 1 definiscono il nostro alfabeto.
Le operazioni base nella matematica sono somma e prodotto. Infatti le operazioni di sottrazione e divisione possono essere emulate come segue:
2 - 10 = 2 + (-10)
2:10 = 2 x 1/10 (Due diviso dieci equivale a moltiplicare due per un decimo).
Questo per spiegare perchè vengono citate solo somma e prodotto.
Il teorema di Godel dice che in un sistema, con un opportuno alfabeto (0 e 1 ad esempio) e le operazioni base (somma e prodotto) è possibile formulare determinate proposizioni (0x1=0, ad esempio) che comunque non possono essere dimostrate o smentite tramite il sistema stesso.
Il secondo teorema infatti dice che se io ho un sistema X, e in questo sistema ci faccio tutte le operazioni che voglio, queste operazioni non potranno essere dimostrate o smentite tramite il sistema X stesso.
Perchè?
Perchè, in un sistema, diamo per scontato che il sistema stesso funzioni in quel modo, in parole povere.
Come diceva labutino, due per due fa quattro perchè noi abbiamo già definito cosa fosse il due e cosa fosse la moltiplicazione, ma tramite l'espressione 2x2=4 come si fa a dimostrare che l'espressione è veritiera a prescindere da quelle regole già stabilite?

E' come tentare di insultare una persona che non comprende la nostra lingua (usando termini aventi varie accezioni) e ritenere, erroneamente, che lei l'abbia compresa nell'accezione esatta e si sia sentita offesa.

Ecco perchè sono riuscito a farmi rimandare a settembre in matematica in IV ginnasio...

[QUOTE=mat612000;945736]Ecco perch

questa è certamente la semplificazione più valida dell'enunciato dei teoremi di goedel...

in sintesi:
un sistema completo non può anche essere coerente (da qui: la matematica è incompleta)

in termini pratici non è possibile costruire una macchina che possa dimostrare tutti i teoremi e le proprietà della matematica che si fonda su assiomi.

per inciso, la matematica non nasce dal nulla, ma tutte le sue proprietà sono basate su concetti elementari e ragionevoli (motivo per cui alcune cose non sono dimostrabili nè confutabili, cioè che il sistema matematico non sia completo)


i teoremi di godel suscitarono grende delusione in tutti i matematici americani (una volta compreso l'enunciato. tentare di comprendere ogni particolare della dimostrazione è pura follia per chiunque non sia dottore in matematica... io tentai ma il mio prof di matematica mi fece desistere )

godel (evidentemente era già insito in lui) successivamente alla dimostrazione dei teoremi cadde in una "deviazione" mentale, che lo portò a farsi morire di fame. ecco, non voglio dire che i teoremi lo abbiano ucciso però passare parte della sua vita all'interno di quella pesantezza dimostrativa bene non gli ha fatto...


per la cronaca a*0=0 si può dimostrare (avete spiegato molto male il concetto, non è che sia indimostrabile. non è dimostrabile senza le basi costituenti l'aritmetica)
basta leggere gli assiomi di campo che definiscono l'insieme dei numeri reali.

a*0 = a*(0+0) (proprietà dell'elemento neutro della somma)
a*0 = a*0 + a*0 (distributivit&#224
a*0 - a* 0 = a*0
0 = a*0

...motivi politici...

[QUOTE=Grey Fox;945750]questa

le operazioni fondamentali (merda ti ho appena fatto vedere) e i numeri stessi SONO dimostrabili.
sono diretta conseguenza degli assiomi con i quali viene definito l'insieme dei numeri (la matematica).

il teorema non dice che senza gli assiomi questi fatti siano indimostrabili: senza assiomi non ha senso parlare di operazioni fondamentali o che perchè non si può parlare di matematica.

goedel fa un ragionamento più sottile (ed estremamente più complicato... provo a semplificare cercando di non approssimare troppo grossolanamente): se un sistema è coerente non può essere completo (e viceversa).
dice cioè che, poichè non sono dimostrabili le basi della matematica, perchè definite in via assiomatica, allora la matematica stessa non può essere un sistema completo (leggi: non può dimostrare tutto).

se si potessero dimostrare le basi della matematica, la matematica sarebbe incoerente


non si limita a dire che certi fatti non siano dimostrabili senza gli assiomi. questo è ovvio perchè non puoi definire le proprietà di un insieme che non hai definito. sottolinea il fatto che, se un sistema ha fatti assiomatici, allora non può essere completo.

Si mi sono espresso male. Sono gli assiomi che non sono dimostrabili, sui quali è fondata la matematica.

Matematicamente e' un capolavoro.
Il nobel non l'ha mica rubato, insomma.

grazie a tutti ;_;

direi di no...